Задача 32090

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что существует число, сумма цифр квадрата которого более, чем в 1000 раз превышает сумму цифр самого числа.

Решение

Таким числом будет . В его десятичной записи единицы стоят в разрядах с номерами 1, 2, 4, 8, …, 2¹ººº (разряды мы считаем справа, то есть разряд единиц имеет номер 1, десятков — 2 и т.д.), а остальные цифры — нули. Сумма цифр числа равна 1001. При возведении этого числа в квадрат мы получим единицы в разрядах с номерами 2²ⁱ (i = 0,1, … ,1000), двойки в разрядах 2^i + j (i,j = 0,1, … ,1000 ) и нули в остальных местах. Сумма цифр этого квадрата равна 1001².

Замечания

Источник решения: книга "В.О.Бугаенко. Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике. МЦНМО-ЧеРо. 1998".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер	10
Дата	1987
задача
Номер	14