ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 32137
Тема:    [ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вершины A, B, C треугольника соединены с точками A1, B1, C1, лежащими на противоположных сторонах (не в вершинах).
Могут ли середины отрезков AA1, BB1, CC1 лежать на одной прямой?


Решение

Средняя линия B2C2 треугольника ABC параллельна основанию BC. Отсюда следует, что эта прямая содержит среднюю линию треугольника CAA1. Поэтому середина отрезка AA1 лежит на отрезке B2C2. Аналогично середины отрезков BB1 и CC1 лежат на двух других средних линиях треугольника ABC (см. рис.). Поскольку прямая не может пересекать три стороны треугольника во внутренних точках, три указанные точки не могут лежать на одной прямой.


Ответ

Не могут.

Замечания

1. 3 балла.

2. Источник решения: книга В.О. Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 15
Дата 1993/1994
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 8
Год 1945
вариант
Класс 7,8
Тур 2
задача
Номер 4
олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер 16
Дата 1993
задача
Номер 02

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .