В треугольник вписан квадрат (две вершины на одной стороне и по одной на остальных). Докажите, что центр вписанной окружности треугольника лежит внутри квадрата.

   Решение

Пусть M — центр масс n-угольника A₁...A_n; M₁,..., M_n — центры масс (n - 1)-угольников, полученных из этого n-угольника выбрасыванием вершин A₁,..., A_n соответственно. Докажите, что многоугольники A₁...A_n и  M₁...M_n гомотетичны.

   Решение

Клайв прокрутил минутную стрелку, так же как в задаче 32796.)
  а) Сколько раз за это время минутная стрелка совпала с часовой?
  б) В какие моменты это происходило?

   Решение

Тема:    [ Задачи на движение ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Клайв прокрутил минутную стрелку, так же как в задаче 32796.)
  а) Сколько раз за это время минутная стрелка совпала с часовой?
  б) В какие моменты это происходило?

Решение

Можно считать, что Клайв крутит стрелку ровно 12 часов. За это время минутная стрелка сделала 12 оборотов, а часовая – один. Значит, минутная стрелка обогнала часовую ровно 11 раз. Если бы Клайв начал крутить стрелку не в 12:05, а в 12:00, то моменты обгона разделили бы 12 часов на 11 равных частей. Поэтому в каждом промежутке по ¹²/₁₁ часа, то есть 1 час и 5⁵/₁₁ минуты.

Ответ

  а) 11 раз.
  б) Первый раз это произошло, когда часы показывали 1 час 5⁵/₁₁ минуты. После этого часовая и минутная стрелки совмещались (по показаниям часов) каждые 1 час ⁶⁰/₁₁ минуты.

Источники и прецеденты использования