Условие
В круге провели несколько (конечное число) различных хорд так,
что каждая из них проходит через
середину какой-либо другой из проведённых хорд.
Докажите, что все эти хорды являются диаметрами
круга.
Подсказка
Рассмотрите наименьшую по длине хорду.
Решение
Заметим, что чем меньше расстояние от центра O
окружности до хорды, тем больше длина хорды. Так как
хорд конечное число, то среди них есть наименьшая по длине,
скажем, AB. По условию, она проходит через
середину K некоторой другой хорды, скажем, CD.
Если точка пересечения AB и CD не является также и
серединой AB, то расстояние от точки O до CD будет,
очевидно, больше, чем расстояние от O до AB (т. к. OK
будет больше длины перпендикуляра, опущенного из точки O на AB),
следовательно, хорда CD имеет
меньшую, чем AB, длину - противоречие.
Значит, CD проходит через середину AB,
откуда перпендикуляры,
опущенные из точки O на эти хорды, совпадают.
Это возможно, только если AB и CD совпадают, или если AB
и CD пересекаются в центре. Первое невозможно, значит
AB и CD - диаметры. А раз наименьшая по длине хорда является диаметром,
то и все проведенные хорды - диаметры.
Источники и прецеденты использования
