ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 34894
Темы:    [ Правильные многоугольники ]
[ Вычисления. Метрические соотношения в многоугольниках ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что сумма расстояний от любой точки, расположенной внутри правильного n-угольника, до его сторон не зависит от выбора точки.


Подсказка

Используйте площадь.


Решение

Пусть точка O расположена внутри правильного n-угольника A1A2...An со стороной a и площадью S. Обозначим через h1, h2, ..., hn расстояния от O до сторон A1A2, A2A3, ..., AnA1. Площадь n-угольника равна сумме площадей треугольников OA1A2, OA2A3, ..., OAnA1, то есть  2S = ah1 + ah2 + ... + ahn.  Отсюда
h1 + h2 + ... + hn = 2S/a.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .