Задача 34894

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Вычисления. Метрические соотношения в многоугольниках ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что сумма расстояний от любой точки, расположенной внутри правильного n-угольника, до его сторон не зависит от выбора точки.

Подсказка

Используйте площадь.

Решение

Пусть точка O расположена внутри правильного n-угольника A₁A₂...A_n со стороной a и площадью S. Обозначим через h₁, h₂, ..., h_n расстояния от O до сторон A₁A₂, A₂A₃, ..., A_nA₁. Площадь n-угольника равна сумме площадей треугольников OA₁A₂, OA₂A₃, ..., OA_nA₁, то есть  2S = ah₁ + ah₂ + ... + ah_n.  Отсюда
h₁ + h₂ + ... + h_n = ^2S/_a.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача