Задача 34905

Темы:    [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Отношения площадей (прочее) ] [ Площадь трапеции ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Каждая из 9 прямых разбивает квадрат на два четырхугольника, площади которых относятся как 2:3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.

Подсказка

Имеются 4 фиксированные точки внутри квадрата, такие что каждая прямая, делящая площадь квадрата в отношении 2:3, проходит через одну из них.

Решение

Каждая из 9 прямых разбивает квадрат на две трапеции, основания которых лежат на сторонах квадрата и высоты равны стороне квадрата. Ясно, что прямая делит "среднюю линию" квадрата в отношении 2:3, поскольку отношение площадей этих трапеций равно отношению их средних линий. На каждой из двух средних линий имеется 2 точки, делящие ее в отношении 2:3. В результате мы получаем, что каждая из девяти данных прямых проходит через одну из 4 указанных точек. По принципу Дирихле через одну из этих точек пройдет не менее трех прямых.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача