|
|
 |
Условие
Пусть O – точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD.
Докажите, что если равны периметры треугольников ABO, BCO, CDO, DAO, то ABCD – ромб.
Подсказка
Если AO > OC, BO > OD, то треугольник ABO покрывает треугольник CDO.
Решение
Выберем на каждой диагонали AC, BD больший из отрезков, на которые она делится точкой O. Можно без ограничения общности считать, что AO > OC, BO > OD. Тогда периметр треугольника AOB не меньше периметра треугольника COD, причём равенство возможно только если AO = OC и BO = OD (построим треугольник A'OB', симметричный треугольнику AOB относительно точки O, его периметр не меньше периметра треугольника COD, поскольку CA' + A'B' + B'D > CD). Но если AO = OC и BO = OD, то из равенства периметров сразу следует, что AB = BC = CD = DA, то есть ABCD – ромб.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
