|
|
 |
Условие
а) На отрезке [0, 1] задано такое множество M, являющееся объединением нескольких отрезков, что расстояние между любыми двумя точками из M не равно 1/10. Докажите, что сумма длин отрезков, составляющих M, не больше ½.
б) Верно ли это же утверждение, если заменить 1/10 на ⅕?
Подсказка
. При сдвиге на 1/10 точка множества M не может перейти в другую точку множества M.
Решение
а) Разобьём отрезок [0, 1] на пять отрезков длины ⅕. Пусть A = M ∩ [0, 1/10], B = M ∩ [1/10, ⅕]. Через A' обозначим множество, полученное из A сдвигом на 1/10 (он совмещает отрезок [0, 1/10] с отрезком [1/10, ⅕]). Множества A' и B не пересекаются, иначе между некоторыми двумя точками из множеств A и B расстояние было бы равно 1/10. Поэтому сумма длин отрезков, составляющих множества B и A не превосходит 1/10. Рассуждая таким же образом и для других отрезков длины ⅕, получим требуемое.
б) Контрпример. Возьмём M = [0, ⅕ – 1/100] ∪ [⅖, ⅗ – 1/100] ∪ [⅘, 1 – 1/100].
Ответ
б) Неверно.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
