ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 34936
Темы:    [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Четность и нечетность ]
[ Системы точек ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На каждой из 15 планет, расстояния между которыми попарно различны, находится по астроному, который наблюдает ближайшую к нему планету. Докажите, что некоторую планету никто не наблюдает.


Подсказка

Выберите вначале пару ближайших друг к другу планет.


Решение

Возьмём две планеты, расстояние между которыми наименьшее среди всех попарных расстояний. Ясно, что астрономы, находящиеся на этих двух планетах, смотрят друг на друга. Рассмотрим оставшиеся 13 планет. Если хотя бы один из астрономов с этих планет смотрит на одну из двух выбранных планет, то на все 13 планет не хватит наблюдателей, то есть среди этих планет найдётся та, которую никто не наблюдает. Если же ни на одну из выбранных двух планет никто не смотрит, то эти две планеты можно не рассматривать и повторить все рассуждения для 13 планет. Рассуждая так и далее, мы найдём планету, которую никто не наблюдает (поскольку 15 - нечётное число).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .