Условие
Каждая точка пространства окрашена в один из пяти цветов, причем
каждым из этих пяти цветов окрашена хотя бы одна точка.
Докажите, что найдется плоскость, все точки которой окрашены не
менее, чем в 4 цвета.
Подсказка
Если некоторая прямая окрашена в 3 цвета, то задача решается
просто.
Решение
Если некоторая прямая окрашена в 3 или более цветов,
то проведем плоскость
через эту прямую и точку одного из недостающих цветов.
Эта плоскость будет окрашена не менее, чем в 4 цвета.
Далее, предположим, что каждая прямая окрашена не более, чем в 2
цвета.
Фиксируем по одной точке каждого из пяти цветов.
Пусть никакие четыре из этих пяти точек не лежат в одной плоскости
(в противном случае решение очевидно).
Рассмотрим прямые, попарно соединяющие эти точки.
Они пересекают некоторую плоскость П, им не параллельную, в 10
различных точках. Покажем, что эти 10 точек окрашены не менее, чем
в 4 цвета. В противном случае некоторые 2 цвета (a и b) отсутствуют.
Но одним из этих цветов должна быть окрашена точка пересечения
прямой, соединяющей точки цветов a и b, с плоскостью П
(вся эта прямая окрашена два цвета a и b).
Источники и прецеденты использования
