Задача 35017

Темы:    [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ] [ Парадоксы ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

У деда Мороза в мешке бесконечное число конфет, занумерованных натуральными числами. За минуту до Нового года он начинает дарить детям конфеты. Сначала он дарит детям конфету с номером 1. За полминуты до Нового года он дарит 2 конфеты с номерами 2 и 3, а конфету с номером 1 отбирает, за 15 секунд до Нового года он дарит 4 конфеты с номерами 4, 5, 6, 7, а 2 конфеты с номерами 2 и 3 отбирает, и т.д., за 1/2ⁿ долю минуты до Нового года дед Мороз дарит 2ⁿ конфет с номерами от 2ⁿ до 2ⁿ⁺¹-1 и отбирает 2^n-1 конфет с номерами от 2^n-1 до 2ⁿ-1. Сколько конфет будет у деда Мороза и у детей в момент встречи Нового года?

Подсказка

У кого в момент наступления Нового года будет конфета с номером 1? А с номером 2?...

Решение

Несмотря на то, что каждый раз дед Мороз дарит в 2 раза больше конфет, чем отбирает, в момент встречи Нового года все конфеты снова окажутся у деда Мороза. В самом деле, каждая конкретная конфета будет один раз подарена, а при следующей раздаче отобрана. После этого она до Нового года останется у деда Мороза.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача