Задача 35021

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Диаметр, хорды и секущие ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Каждая из сторон выпуклого четырехугольника пересекает некоторую окружность в двух точках, причем окружность высекает на сторонах четырехугольника равные хорды. Докажите, что в этот четырехугольник можно вписать окружность.

Подсказка

Данная окружность и окружность, вписанная в четырехугольник - концентрические.

Решение

Проведем окружность, имеющую общий центр с данной, касающуюся одной из хорд. Так как равные хорды равноудалены от центра окружности, то построенная окружность касается всех четырех хорд, т.е. является вписанной в четырехугольник.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача