Ищутся такие оканчивающиеся на 5 натуральные числа, что их цифры монотонно не убывают (то есть каждая цифра, начиная со второй, не меньше предыдущей цифры), и в десятичной записи их квадрата цифры тоже монотонно не убывают. Докажите, что таких чисел бесконечно много.

   Решение

Тема:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Можно ли разбить какой-нибудь треугольник на 5 одинаковых треугольников?

Подсказка

В качестве примера можно взять прямоугольный треугольник, в котором катеты относятся как 1:2.

Решение

Примером является прямоугольный треугольник ABC с катетами AC=1 и BC=2. Укажем нужное разбиение этого треугольника. Проведем высоту CH из вершины C прямого угла. Треугольник ABC при этом разбивается на 2 подобных треугольника ACH и BCH. Коэффициент подобия этих треугольников равен AC/BC=1/2. Далее, треугольник BCH можно разбить средними линиями на 4 равных треугольника, каждый из которых подобен треугольнику BCH с коэффициентом подобия 1/2. В итоге треугольник ABC оказался разбитым на 5 треугольников, равных треугольнику ACH.

Источники и прецеденты использования