Задача 98095

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Анджанс А.

Ищутся такие оканчивающиеся на 5 натуральные числа, что их цифры монотонно не убывают (то есть каждая цифра, начиная со второй, не меньше предыдущей цифры), и в десятичной записи их квадрата цифры тоже монотонно не убывают. Докажите, что таких чисел бесконечно много.

Решение

3...35² = (⅓ (10ⁿ – 1) + 2)² = (⅓ (10n + 5))² = ¹/₉ (10²ⁿ + 10ⁿ⁺¹ + 25) = ¹/₉ (10²ⁿ – 1 + 10ⁿ⁺¹ – 1 + 27) = 1...1 + 1...1 + 3 = 1...12...25.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	12
Дата	1990/1991
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	1