ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



Задача 98095  (#1)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Анджанс А.

Ищутся такие оканчивающиеся на 5 натуральные числа, что их цифры монотонно не убывают (то есть каждая цифра, начиная со второй, не меньше предыдущей цифры), и в десятичной записи их квадрата цифры тоже монотонно не убывают. Докажите, что таких чисел бесконечно много.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108052  (#2)

Темы:   [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Куланин Е.

Дана фиксированная хорда MN окружности, не являющаяся диаметром. Для каждого диаметра AB этой окружности, не проходящего через точки M и N, рассмотрим точку C, в которой пересекаются прямые AM и BN, и проведём через неё прямую l, перпендикулярную AB. Докажите, что все прямые l проходят через одну точку.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98097  (#3)

Темы:   [ Квадратные неравенства и системы неравенств ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Основные свойства центра масс ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Автор: Столов Е.

Сумма n чисел равна нулю, а сумма их квадратов равна единице. Докажите, что среди этих чисел найдутся два, произведение которых не больше  – 1/n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98098  (#4)

Темы:   [ Окружности на сфере ]
[ Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности ]
[ Системы отрезков, прямых и окружностей ]
[ Разные задачи на разрезания ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

На сфере отмечено пять точек, никакие три из которых не лежат на большой окружности (большая окружность – это окружность, по которой пересекаются сфера и плоскость, проходящая через её центр). Две большие окружности, не проходящие через отмеченные точки, называются эквивалентными, если одну из них с помощью непрерывнвого перемещения по сфере можно перевести в другую так, что в процессе перемещения окружность не проходит через отмеченные точки.
  а) Сколько можно нарисовать окружностей, не проходящих через отмеченные точки и не эквивалентных друг другу?
  б) Та же задача для n отмеченных точек.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98099  (#5)

Темы:   [ Связность и разложение на связные компоненты ]
[ Степень вершины ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Двоичная система счисления ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Фомин С.В.

В королевстве 16 городов. Король хочет построить такую систему дорог, чтобы из каждого города можно было попасть в каждый, минуя не более одного промежуточного города, и чтобы из каждого города выходило не более пяти дорог.
  а) Докажите, что это возможно.
  б) Докажите, что если в формулировке заменить число 5 на число 4, то желание короля станет неосуществимым.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .