ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98098
Темы:    [ Окружности на сфере ]
[ Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности ]
[ Системы отрезков, прямых и окружностей ]
[ Разные задачи на разрезания ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сфере отмечено пять точек, никакие три из которых не лежат на большой окружности (большая окружность – это окружность, по которой пересекаются сфера и плоскость, проходящая через её центр). Две большие окружности, не проходящие через отмеченные точки, называются эквивалентными, если одну из них с помощью непрерывнвого перемещения по сфере можно перевести в другую так, что в процессе перемещения окружность не проходит через отмеченные точки.
  а) Сколько можно нарисовать окружностей, не проходящих через отмеченные точки и не эквивалентных друг другу?
  б) Та же задача для n отмеченных точек.


Решение

  а) Перейдём к двойственным объектам: каждой окружности соответствует такая пара противоположных точек сферы, что соединяющий их диаметр перпендикулярен этой окружности; наоборот, каждой точке соответствует большая окружность. Тогда задача сводится к двойственной: точки считаются эквивалентными, если можно одну перевести в другую, не задевая пяти данных больших окружностей (никакие три из которых не пересекаются в одной точке). Очевидно, точку можно перемещать в пределах области, на которые большие окружности делят сферу. Таким образом, число классов эквивалентности в два раза меньше числа частей, на которые большие окружности делят сферу (противоположным частям соответствует один класс, так как исходной большой окружности в двойственной задаче соответствуют две диаметрально противоположные точки).
  Согласно задаче 60324 n наших больших окружностей делят сферу на  n² – n + 2  части. В частности, пять окружностей разобьют сферу на 22 части. А ответ, как показано выше, в два раза меньше.

 б) См. а).

Ответ

а) 11,   б)  ½ (n² – n + 2)  окружностей.

Замечания

Баллы: 3 + 3

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 12
Дата 1990/1991
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .