Каталог по темам

Выбрано 7 задач

Докажите формулу:

arccos x = $\displaystyle \left\{\vphantom{\begin{array}{ll}\arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{есл... ...arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{если }-1\leqslant x\leqslant 0. \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{ll}\arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{если }0\leqslant x... ...\ \pi-\arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{если }-1\leqslant x\leqslant 0. \end{array}$

Решение

Каждую пятницу десять джентльменов приходят в клуб, и каждый отдает швейцару свою шляпу. Каждая шляпа точно впору своему хозяину, но двух одинаковых по размеру шляп нет. Уходят джентльмены по одному в случайном порядке.
Провожая очередного джентльмена, швейцар клуба пробует надеть ему на голову первую попавшуюся шляпу. Если налезает, джентльмен уходит в этой шляпе. Если мала, то швейцар пробует следующую случайную шляпу из оставшихся. Если все оставшиеся шляпы оказались малы, швейцар говорит бедняге: "Сэр, сегодня шляпа вам не к лицу", и джентльмен отправляется домой с непокрытой головой. Найдите вероятность того, что в следующую пятницу у швейцара не останется ни одной шляпы.

Решение

Автор: Алексеев В.Б.

По кругу выписано несколько чисел. Если для некоторых четырёх идущих подряд чисел a, b, c, d произведение чисел a – d и b – c отрицательно, то числа b и c можно поменять местами. Докажите, что такие операции можно проделать лишь конечное число раз.

Решение

Докажите, что имеют место следующие соотношения:

cos arcsin x = $\displaystyle \sqrt{1-x^2}$ ; sin arccos x = $\displaystyle \sqrt{1-x^2}$ ;

tg arcctg x = $\displaystyle {\dfrac{1}{x}}$ ; ctg arctg x = $\displaystyle {\dfrac{1}{x}}$ ;

cos arctg x = $\displaystyle {\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}}$ ; sin arctg x = $\displaystyle {\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}$ ;

cos arcctg x = $\displaystyle {\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}$ ; sin arcctg x = $\displaystyle {\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}}$ .

Решение

Найдите соотношение между arcsin cos arcsin x и arccos sin arccos x.

Решение

Автор: Горяшин Д.В.

Существует ли такое значение x, что выполняется равенство arcsin²x + arccos²x = 1?

Решение

Докажите равенство:

arcsin x + arcsin y = $\displaystyle \eta$ arcsin(x $\displaystyle \sqrt{1-y^2}$ + y $\displaystyle \sqrt{1-x^2}$ ) + $\displaystyle \varepsilon$ $\displaystyle \pi$ ,

где $\eta$ = 1, $\varepsilon$ = 0, если xy < 0 или x² + y² $\leqslant$ 1; $\eta$ = - 1, $\varepsilon$ = - 1, если x² + y² > 1, x < 0, y < 0; $\eta$ = - 1, $\varepsilon$ = 1, если x² + y² > 1, x > 0, y > 0.

Решение

Задача 30415

Задача 30417

Задача 30427

Задача 30428

Задача 30429