Задача 30428

Тема:    [ Связность и разложение на связные компоненты ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Условие

Докажите, что граф с n вершинами, степень каждой из которых не менее ^n–1/₂, связен.

Решение

  Рассмотрим две произвольных вершины и предположим, что они не соединены путем, то есть такой последовательностью ребер, в которой начало очередного ребра совпадает с концом предыдущего. Каждая из этих двух вершин по условию соединена не менее, чем с ^n–1/₂ другими; при этом все упомянутые вершины различны – ведь если какие-то две из них совпадают, то есть путь, соединяющий исходные вершины.
  Таким образом, в графе не менее  ^n–1/₂ + ^n–1/₂ + 2 = n + 1  вершин. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Графы-1
Тема	Теория графов
задача
Номер	015