|
|
 |
Условие
Сумма n чисел равна нулю, а сумма их квадратов равна единице. Докажите, что среди этих чисел найдутся два, произведение которых не больше – 1/n.
Решение 1
Пусть x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn – данные числа. Тогда (x1 – xk)(xn – xk) ≤ 0 при каждом k от 1 до n. Сложив все эти неравенства, получим
nx1xn – (x1 + xn)·0 + 1 ≤ 0, то есть x1xn ≤ – 1/n.
Решение 2
Рассмотрим на плоскости n точек с координатами По условию координаты их центра тяжести равны (0, 1/n). Тем самым, найдётся точка с положительной абсциссой. Проведём через точку с наибольшей положительной абсциссой и центр тяжести прямую. Эта прямая пересекает параболу
y = x² ещё в одной точке, абсциссу которой обозначим u. Поскольку все остальные точки не могут лежать ниже этой прямой, найдётся точка с абсциссой
xj ≤ u. Заметим, что xi и u удовлетворяют уравнению 1/n + kx = x², значит, их произведение uxi = – 1/n, а xixj ≤ – 1/n.
Замечания
5 баллов.
