ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98097
Темы:    [ Квадратные неравенства и системы неравенств ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Основные свойства центра масс ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Столов Е.

Сумма n чисел равна нулю, а сумма их квадратов равна единице. Докажите, что среди этих чисел найдутся два, произведение которых не больше  – 1/n.


Решение 1

Пусть  x1x2 ≤ ... ≤ xn  – данные числа. Тогда  (x1xk)(xnxk) ≤ 0  при каждом k от 1 до n. Сложив все эти неравенства, получим
nx1xn – (x1 + xn)·0 + 1 ≤ 0,  то есть  x1xn ≤ – 1/n.


Решение 2

Рассмотрим на плоскости n точек с координатами    По условию координаты их центра тяжести равны  (0, 1/n).  Тем самым, найдётся точка с положительной абсциссой. Проведём через точку с наибольшей положительной абсциссой и центр тяжести прямую. Эта прямая пересекает параболу
y = x²  ещё в одной точке, абсциссу которой обозначим u. Поскольку все остальные точки не могут лежать ниже этой прямой, найдётся точка с абсциссой
xj ≤ u.  Заметим, что xi и u удовлетворяют уравнению  1/n + kx = x²,  значит, их произведение  uxi = – 1/n,  а  xixj ≤ – 1/n.

Замечания

5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 12
Дата 1990/1991
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 3
журнал
Название "Квант"
год
Год 1991
выпуск
Номер 4
Задача
Номер М1278

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .