|
|
 |
Условие
На листе бумаги нарисован выпуклый многоугольник M периметра P и площади S. Закрасили каждый круг радиуса R с центром в каждой точке, лежащей внутри этого многоугольника. Найдите площадь закрашенной фигуры.
Подсказка
Закрашенную фигуру можно разбить на сам многоугольник M, на прямоугольники и сектора круга; суммарная площадь секторов равна площади круга радиуса R.
Решение
Закрашенную фигуру можно разбить на части трёх типов:
1) сам многоугольник M;
2) прямоугольники с высотой R, построенные "наружу" на каждой стороне многоугольника M;
3) сектора круга радиуса R с центрами в вершинах M.
Поскольку все прямоугольники имеют одинаковую высоту R, а сумма их оснований равна периметру P многоугольника M, суммарная площадь прямоугольников равна PR. Градусная мера каждого сектора дополняет градусную меру соответствующего угла до 180°. Таким образом, сумма градусных мер всех секторов равна сумме внешних углов многоугольника M, то есть равна 360°. Значит, сектора составляют полный круг радиуса R, следовательно, их суммарная площадь равна πR².
Ответ
S + PR + πR².
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
