Задача 35071

Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Правило произведения ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Количество и сумма делителей числа ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Сколько существует пар натуральных чисел, у которых наименьшее общее кратное (НОК) равно 2000?

Подсказка

Либо одно из чисел равно 2000, либо в разложении одного из чисел на простые сомножители должен присутствовать множитель 2⁴, а в разложении другого – множитель 5³.

Решение

  Рассмотрим две возможности.
  1) Одно из чисел равно 2000. Тогда другое число может быть любым делителем числа 2000. Поскольку  2000 = 2⁴·5³,  оно имеет 20 делителей (см. задачу 30358).
  2) Ни одно из двух чисел a, b не равно 2000. Тогда в разложении одного из этих чисел a, b (для определенности, a) на простые сомножители должен присутствовать множитель 2⁴, а в разложении другого – множитель 5³. Таким образом,  a = 2⁴·5^m,  b = 2ⁿ·5³,  где m может принимать 3 значения  (0, 1, 2) , и независимо от этого n может принимать 4 значения  (0, 1, 2, 3).  Таким образом, в этом случае имеется  3·4 = 12 возможностей.
  Итак, имеется  20 + 12 = 32  пары натуральных чисел, имеющие  НОК = 2000.

Ответ

32 пары.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача