Условие
На плоскости расположены 100 точек-овец и одна точка-волк.
За один ход волк передвигается на расстояние не больше 1,
после этого одна из овец передвигается на расстояние не больше 1,
после этого снова ходит волк и т.д.
При любом ли начальном расположении точек волк сможет поймать одну
из овец?
Подсказка
Овцы могут ходить по достаточно удаленным друг от друга
параллельным прямым.
Решение
Введем на плоскости систему координат. Пусть k-ая овца
имеет координаты (4k;0), k=1,2,...,100,
а начальное положение волка таково, что
за один ход он не может достичь ни одной овцы.
Опишем стратегию овец.
Овцы будут ходить только по прямым x=4k.
Пусть перед ходом овец волк находится в точке (x;y) одной из
вертикальных полос |x-4k|<2 (эти полосы не пересекаются).
Тогда ходит овца с номером k,
причем если эта овца находится в точке (4k;z), то она
перемещается в точку (4k;z+1) если z>y и
в точку (4k;z-1) если z не больше y
(т.е. k-ая овца удаляется от волка на 1 вдоль оси Oy).
Ясно, что после этого волк за один ход снова не может поймать
ни одной овцы. Если волк перед ходом овец находится
вне полос |x-4k|<2, то овцы могут сделать любой ход.
Придерживаясь этой стратегии, овцы смогут добиться того, что
ни одна из них не будет поймана.
Ответ
нет.
Источники и прецеденты использования
