Задача 35202

Темы:    [ Монотонность и ограниченность ] [ Показательные уравнения ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Решите уравнение 2^x+3^x=5^x.

Подсказка

Одно решение очевидно - x=1. Докажите, что других решений нет, используя монотонное возрастание некоторых функций.

Решение

Одно из решений можно угадать сразу: x=1. Теперь достаточно показать, что это уравнение имеет не более одного решения. Преобразуем уравнение к виду (2/5)^x+(3/5)^x=1. В левой части записана функция, убывающая на всей числовой оси (как сумма двух убывающих функций). Следовательно, эта функция принимает каждое действительное значение не более одного раза. Поэтому для любого числа c уравнение (2/5)^x+(3/5)^x=с имеет не более одного решения.

Ответ

x=1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача