ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35236
Темы:    [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ]
[ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Соображения непрерывности ]
[ Поворот на $90^\circ$ ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Разные задачи на разрезания ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Имеется пирог некоторой формы. Докажите, что его можно разрезать на четыре равные по массе части двумя прямолинейными перпендикулярными разрезами.

Подсказка

Для каждого направления найдите прямую, делящую пирог пополам, а также перпендикулярную ей прямую, делящую пирог пополам. Непрерывно изменяя эту пару перпендикулярных прямых, найдите положение, в котором равновелики 4 части, на которые разделен пирог.

Решение

Можно переформулировать задачу следующим образом: на плоскости дана некоторая фигура Ф площади S (для простоты можно предполагать, что Ф - многоугольник). Требуется найти две перпендикулярные прямые, делящие Ф на 4 равные по площади части. Вначале заметим, что для любого направления (или для любого вектора) найдется прямая этого направления, делящая площадь Ф пополам. В самом деле, рассмотрим, например, горизонтальное направление. Рассмотрим горизонтальную прямую, относительно которой Ф находится в нижней полуплоскости. Начинаем непрерывно сдвигать прямую вниз пока Ф не окажется целиком в верхней полуплоскости относительно прямой. Площадь той части Ф, которая находится выше прямой, изменяется при этом непрерывно от 0 до S, следовательно, в некоторый момент эта площадь будет равна S/2. Итак, каждому единичному вектору a сопоставляется прямая l(a), делящая площадь Ф пополам. Выберем некоторый вектор a и обозначим за b вектор, который получается из a поворотом на 900. Рассмотрим прямые l(a) и l(b), удобно принять эти прямые соответственно за оси Ox и Oy прямоугольной системы координат. Положительное направление на этих осях выберем вдоль векторов a и b. Обозначим через S1, S2, S3, S4 площади частей фигуры Ф, находящиеся соответственно в первом, втором, третьем и четвертом квадрантах. Имеем: S1+S2=S3+S4 и S1+S4=S2+S3. Складывая и вычитая уравнения, получаем, что S1=S3 и S2=S4, а поскольку S1+S2+S3+S4=S, найдется такое число d ("дефект"), что S1=S3=S/4-d и S2=S4=S/4+d. Теперь будем непрерывно вращать вектор a (и соответственно вектор b) и для каждого положения вычислять "дефект" d (который зависит от положения вектора a). При непрерывном вращении вектора a прямые l(a), l(b) меняются непрерывно, соответственно площади частей, на которые эти прямые делят Ф, меняются непрерывно. Отсюда следует и непрерывное изменение "дефекта" d. Для начального положения вектора a "дефект" равен d. Когда a повернулся на 900 и совпал с вектором b, "дефект" стал равен -d. Значит, для некоторого положения вектора a "дефект" равен 0. Соответствующие прямые l(a) и l(b) разделят Ф на равновеликие части.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .