Задача 35236

Темы:    [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Соображения непрерывности ] [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Разные задачи на разрезания ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Имеется пирог некоторой формы. Докажите, что его можно разрезать на четыре равные по массе части двумя прямолинейными перпендикулярными разрезами.

Подсказка

Для каждого направления найдите прямую, делящую пирог пополам, а также перпендикулярную ей прямую, делящую пирог пополам. Непрерывно изменяя эту пару перпендикулярных прямых, найдите положение, в котором равновелики 4 части, на которые разделен пирог.

Решение

Можно переформулировать задачу следующим образом: на плоскости дана некоторая фигура Ф площади S (для простоты можно предполагать, что Ф - многоугольник). Требуется найти две перпендикулярные прямые, делящие Ф на 4 равные по площади части. Вначале заметим, что для любого направления (или для любого вектора) найдется прямая этого направления, делящая площадь Ф пополам. В самом деле, рассмотрим, например, горизонтальное направление. Рассмотрим горизонтальную прямую, относительно которой Ф находится в нижней полуплоскости. Начинаем непрерывно сдвигать прямую вниз пока Ф не окажется целиком в верхней полуплоскости относительно прямой. Площадь той части Ф, которая находится выше прямой, изменяется при этом непрерывно от 0 до S, следовательно, в некоторый момент эта площадь будет равна S/2. Итак, каждому единичному вектору a сопоставляется прямая l(a), делящая площадь Ф пополам. Выберем некоторый вектор a и обозначим за b вектор, который получается из a поворотом на 90⁰. Рассмотрим прямые l(a) и l(b), удобно принять эти прямые соответственно за оси Ox и Oy прямоугольной системы координат. Положительное направление на этих осях выберем вдоль векторов a и b. Обозначим через S₁, S₂, S₃, S₄ площади частей фигуры Ф, находящиеся соответственно в первом, втором, третьем и четвертом квадрантах. Имеем: S₁+S₂=S₃+S₄ и S₁+S₄=S₂+S₃. Складывая и вычитая уравнения, получаем, что S₁=S₃ и S₂=S₄, а поскольку S₁+S₂+S₃+S₄=S, найдется такое число d ("дефект"), что S₁=S₃=S/4-d и S₂=S₄=S/4+d. Теперь будем непрерывно вращать вектор a (и соответственно вектор b) и для каждого положения вычислять "дефект" d (который зависит от положения вектора a). При непрерывном вращении вектора a прямые l(a), l(b) меняются непрерывно, соответственно площади частей, на которые эти прямые делят Ф, меняются непрерывно. Отсюда следует и непрерывное изменение "дефекта" d. Для начального положения вектора a "дефект" равен d. Когда a повернулся на 90⁰ и совпал с вектором b, "дефект" стал равен -d. Значит, для некоторого положения вектора a "дефект" равен 0. Соответствующие прямые l(a) и l(b) разделят Ф на равновеликие части.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача