Задача 35240

Тема:    [ Теория групп (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

К кубику Рубика применили последовательность поворотов. Доказать, что применяя ее несколько раз, можно привести кубик в начальное состояние.

Подсказка

Число состояний кубика Рубика конечно; для каждого поворота есть обратный.

Решение

Обозначим начальное состояние кубика Рубика за A. Пусть P=P₁P₂...P_n - некоторая последовательность поворотов. Обозначим через P(X) результат применения последовательности поворотов P к состоянию X, и через P^m(X) результат m-кратного применения последовательности поворотов P к состоянию X. Рассмотрим последовательность состояний A, P(A), P²(A), P³(A), ... Поскольку имеется лишь конечное число состояний кубика Рубика, то в этой последовательности встретится повторение, т.е. P^k(A)=Pⁿ(A)=B для некоторых k, n, k<n. Для каждого поворота P_i кубика есть обратный поворот P^-1_i (т.е. такой поворот, что P^-1_i(P_i) = P_i(P^-1_i) есть тождественное преобразование). Таким образом, для последовательности поворотов P=P₁P₂...P_n имеется обратное преобразование P^-1, определяемое как последовательное выполнение поворотов P^-1_n, P^-1_n-1, ... , P^-1₁. Применяя преобразование P^-1 к состоянию B=P^k(A)=Pⁿ(A), мы получаем, что P^-1(B)=P^k-1(A)=P^n-1(A). Проводя дальнейшие рассуждения подобным образом, мы получим совпадение состояний P^k-2(A)=P^n-2(A), ... , P¹(A)=P^n-k+1(A). Таким образом, начальное состояние повторится после (n-k+1)-кратного выполнения последовательности поворотов P.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача