ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35240
Тема:    [ Теория групп (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

К кубику Рубика применили последовательность поворотов. Доказать, что применяя ее несколько раз, можно привести кубик в начальное состояние.

Подсказка

Число состояний кубика Рубика конечно; для каждого поворота есть обратный.

Решение

Обозначим начальное состояние кубика Рубика за A. Пусть P=P1P2...Pn - некоторая последовательность поворотов. Обозначим через P(X) результат применения последовательности поворотов P к состоянию X, и через Pm(X) результат m-кратного применения последовательности поворотов P к состоянию X. Рассмотрим последовательность состояний A, P(A), P2(A), P3(A), ... Поскольку имеется лишь конечное число состояний кубика Рубика, то в этой последовательности встретится повторение, т.е. Pk(A)=Pn(A)=B для некоторых k, n, k<n. Для каждого поворота Pi кубика есть обратный поворот P-1i (т.е. такой поворот, что P-1i(Pi) = Pi(P-1i) есть тождественное преобразование). Таким образом, для последовательности поворотов P=P1P2...Pn имеется обратное преобразование P-1, определяемое как последовательное выполнение поворотов P-1n, P-1n-1, ... , P-11. Применяя преобразование P-1 к состоянию B=Pk(A)=Pn(A), мы получаем, что P-1(B)=Pk-1(A)=Pn-1(A). Проводя дальнейшие рассуждения подобным образом, мы получим совпадение состояний Pk-2(A)=Pn-2(A), ... , P1(A)=Pn-k+1(A). Таким образом, начальное состояние повторится после (n-k+1)-кратного выполнения последовательности поворотов P.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .