ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35247
Темы:    [ Неравенства с трехгранными углами ]
[ Пространственные многоугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что сумма углов ABC, BCD, CDA, DAB пространственного четырехугольника ABCD составляет не больше 3600.

Подсказка

Можно воспользоваться тем, что в трехгранном угле сумма двух плоских углов больше третьего.

Решение

Из треугольников ABC и ADC можно вывести следующие равенства для углов: (ABC)=1800-(BAC)-(BCA), (ADC)=1800-(DAC)-(DCA). Отсюда получаем, что сумма S углов ABC, BCD, CDA, DAB равна (BAD)+(1800-(BAC)-(BCA))+(DCB)+(1800-(DAC)-(DCA)) = 3600-((BAC)+(DAC)-(BAD))-((BCA)+(DCA)-(DCB)). Каждая из двух скобок неотрицательна, так как в трехгранном угле сумма двух плоских углов больше третьего. Следовательно, сумма S не превосходит 3600.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .