Задача 35247

Темы:    [ Неравенства с трехгранными углами ] [ Пространственные многоугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Докажите, что сумма углов ABC, BCD, CDA, DAB пространственного четырехугольника ABCD составляет не больше 360⁰.

Подсказка

Можно воспользоваться тем, что в трехгранном угле сумма двух плоских углов больше третьего.

Решение

Из треугольников ABC и ADC можно вывести следующие равенства для углов: (ABC)=180⁰-(BAC)-(BCA), (ADC)=180⁰-(DAC)-(DCA). Отсюда получаем, что сумма S углов ABC, BCD, CDA, DAB равна (BAD)+(180⁰-(BAC)-(BCA))+(DCB)+(180⁰-(DAC)-(DCA)) = 360⁰-((BAC)+(DAC)-(BAD))-((BCA)+(DCA)-(DCB)). Каждая из двух скобок неотрицательна, так как в трехгранном угле сумма двух плоских углов больше третьего. Следовательно, сумма S не превосходит 360⁰.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача