Задача 35259

Темы:    [ Индукция (прочее) ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Условие

Известно, что  x + ¹/_x  – целое число. Докажите, что  xⁿ + ¹/_xⁿ  – также целое при любом целом n.

Решение

  Очевидно, достаточно доказать утверждение для неотрицательных n. Сделаем это по индукции.
  База. Для  n = 0  утверждение очевидно, а для  n = 1  дано в условии.
  Шаг индукции. Пусть утверждение уже доказано для всех чисел от 0 до n. Тогда число     – целое как разность двух целых чисел.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача