Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из этих чисел делится на 5.

   Решение

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

Прислать комментарий

Условие

Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из этих чисел делится на 5.

Подсказка

Докажите, что сумма всех семи чисел делится на 5.

Решение

Пусть данные числа a, b, c, d, e, f, g, а S – их сумма. По условию числа  S – a,  S – b,  S – c,  S – d,  S – e,  S – f,  S – g  делятся на 5. Значит, и их сумма,
7S – S = 6S  делится на 5. Но тогда и S делится на 5, а значит, на 5 делятся и числа  a = S – (S – a),  ...,  g = S – (S – g).

Источники и прецеденты использования