ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35293
Тема:    [ Теория групп (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Комбинация А поворотов кубика Рубика называется порождающей, если среди результатов многократного применения комбинации А встретятся всевозможные состояния, в которые можно перевести кубик Рубика при помощи поворотов. Существует ли порождающая комбинация поворотов?


Подсказка

Если бы существовала порождающая комбинация поворотов, то для любых двух поворотов результат их последовательного применения не зависел бы от порядка выполнения этих поворотов.


Решение

Предположим противное. Обозначим через А порождающую комбинацию, а за X начальное состояние кубика. Тогда в последовательности X, A(X), A(A(X)), ... встретятся все состояния кубика. Возьмём два простых поворота кубика: P – поворот правой грани, Q – поворот верхней грани. Применив поворот P к состоянию X, получим состояние P(X). Согласно нашему предположению оно совпадает с некоторым состоянием вида Am(X) для некоторого натурального m. Аналогично  Q(X) = An(X)  для некоторого натурального n. Тогда  P(Q(X)) = Q(P(X)) = Am+n(X).  Однако нетрудно проверить, что результат последовательного выполнения поворотов P и Q отличается от результата последовательного выполнения поворотов Q и P. Противоречие.


Ответ

Не существует.

Замечания

На языке теории групп эту задачу можно сформулировать следующим образом: верно ли, что группа комбинаций поворотов кубика Рубика циклична? В решении показывается, что эта группа не коммутативна, а следовательно, не циклична.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .