Задача 35303

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Доказать, что уравнение  15x² – 7y² = 9  не имеет решений в целых числах.

Подсказка

Учтите, что y делится на 3.

Решение

Из уравнения видно, что y делится на 3. Если подставить в уравнение  y = 3z  и сократить, то получится  5x² – 21y² = 3,  откуда ясно, что x делится на 3. Подставляя  x = 3t,  получим  15t² – 7z² = 1,  или  15t² – 6z² = 1 + z².  Осталось заметить, что левая часть уравнения делится на 3, а правая – не делится (см. задачу 30375). Следовательно, уравнение не имеет решений.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача