Задача 35366

Темы:    [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Вписанный угол (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

Пусть H - точка пересечения высот в треугольнике ABC. Докажите, что если провести прямые, симметричные прямым AH, BH, CH относительно биссектрис углов A, B, C, то эти прямые пересекутся в центре O описанной окружности треугольника ABC.

Подсказка

Достаточно выбрать одну из вершин треугольника ABC, например A, и доказать, что прямые AH и AO симметричны относительно биссектрисы угла A.

Решение

Пусть вначале ABC - остроугольный треугольник, как на картинке (в случае тупоугольного или прямоугольного треугольника рассуждения претерпевают лишь незначительные изменения). Угол BAH дополняет угол B треугольника ABC до 90⁰. Далее, угол AOC равен удвоенному углу B, поскольку угол AOC - центральный, а угол B - вписанный, и оба эти угла опираются на одну дугу. Тогда из равнобедренного треугольника AOC находим (пользуясь тем, что сумма углов треугольника равна 180⁰), что угол CAO также, как и угол BOH, дополняет угол B треугольника ABC до 90⁰. Таким образом, прямые AH и AO симметричны относительно биссектрисы угла A. Аналогично, прямые BH и BO симметричны относительно биссектрисы угла B, а также прямые CH и CO симметричны относительно биссектрисы угла C. Ясно, что отсюда следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача