Задача 35379

Темы:    [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ] [ Системы линейных уравнений ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

Найдите все функции  f(x), определённые при всех действительных x и удовлетворяющие уравнению  2f(x) + f(1 – x) = x².

Подсказка

Подставьте  1 – x  вместо x.

Решение

В данное уравнение подставим  1 – x  вместо x. Получим систему
    2f(x) + f(1 – x) = x²,
    f(x) + 2f(1 – x) = (1 – x)²,
откуда находим  f(x) = ¹/₃ (2x² – (1 – x)²) = ¹/₃ (x² + 2x – 1).  Проверка показывает, что найденная функция удовлетворяет условию.

Ответ

f(x) = ¹/₃ (x² + 2x – 1).

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача