Условие
На стол положили несколько одинаковых листов бумаги прямоугольной
формы. Оказалось, что верхний лист покрывает больше половины площади
каждого из остальных листов. Можно ли в таком случае воткнуть булавку
так, чтобы она проколола все прямоугольники?
Подсказка
Найдите общую точку двух равных прямоугольников, покрывающих
более половины площади другого.
Решение
Докажем, что булавка, воткнутая в центр верхнего листа O, проколет все остальные листы. Действительно, если предположить, что
некоторый лист П не покрывается точкой O, то его можно симметрично отразить
относительно O, и его образ П' не будет пересекать исходный лист. Так как O - центр симметрии
верхнего листа, то пересечения П и П' с верхним листом имеют равные площади, в сумме
меньшие площади одного листа. А значит, верхний лист покрывает меньше половины площади
листа П, что противоречит условию.
Источники и прецеденты использования
