Условие
У выпуклого многогранника все грани - правильные пятиугольники или
правильные шестиугольники. Сколько среди этих граней пятиугольников?
Подсказка
Воспользуйтесь
формулой Эйлера,
связывающей число вершин, граней и ребер выпуклого многогранника.
Решение
Обозначим через П число пятиугольников, через Ш - число
шестиугольников среди граней данного многогранника.
Обозначим также через Г, Р, В соответственно количества граней,
ребер и вершин данного многогранника. Тогда Г=П+Ш.
Далее, каждое ребро принадлежит ровно двум граням, а поскольку
пятиугольникам принадлежат 5 ребер, а шестиугольникам 6,
можно написать: Р=(5П+6Ш)/2.
В каждой вершине сходится по 3 грани.
Действительно, угол правильного пяти- и шестиугольника
не меньшее 108
0; поэтому если бы в некоторой вершине
сходилось не менее четырех граней, то сумма плоских углов
многогранного угла, отвечающего этой вершине, была бы не меньше
4*108
0>360
0, что невозможно.
(Для доказательства этого факта проведем прямую внутри многогранного
угла, спроектируем угол на плоскость, перпендикулярную
этой прямой; проекции плоских углов будут давать в сумме 360
0,
а при проектировании величина угла не уменьшается.)
Отсюда следует, что В=(5П+6Ш)/3.
Воспользуемся
формулой Эйлера,
связывающей число вершин, граней и ребер выпуклого многогранника:
В-Р+Г=2. Подставим значения В, Р, Г, выраженные через П и Ш,
получим:
(5П+6Ш)/3-(5П+6Ш)/2+(П+Ш)=2.
Преобразовывая это выражение, видим, что Ш сокращается, и равенство
принимает вид П/6=2, откуда П=12.
Хорошо известен пример одного из многогранников, о которых идет
речь в условии - "футбольный мяч".
Ответ
12
Источники и прецеденты использования
