Задача 35439

Темы:    [ Вычисление длин дуг ] [ Геометрические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

В прямоугольном листе бумаги сделали несколько непересекающихся круглых дыр. На дырявом листке отметили две точки, находящиеся на расстоянии d друг от друга. Докажите, что на дырявом листке можно нарисовать кривую длины меньше 1,6d, соединяющую данные точки.

Подсказка

Соедините точки прямой. Если по пути попадается дырка, то нужно просто ее обойти по дуге.

Решение

Соединим две данные точки отрезком. Будем идти из одной точки до другой вдоль этого отрезка пока не достигнем участка , лежащего внутри дыры. Обойдем участок по границе дыры, выбирая при этом меньшую по величине дугу. Пусть градусная мера этой дуги равна (здесь угол может принимать значение от 0 до 90⁰), а радиус дыры - . Тогда длина дуги равна , а длина отрезка равна . Но не превосходит (это нетрудно показать, используя свойства графика синуса). Это означает, что отношение длины обходного пути по дуге к длине прямого пути по отрезку меньше 1,6. Таким образом, обходя указанным образом дыры, мы пройдем путь, превышающий длину отрезка менее, чем в 1,6 раза.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача