ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35472
Темы:    [ Четырехугольники (экстремальные свойства) ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырехугольнике найдите точку, для которой сумма расстояний до вершин минимальна.

Подсказка

Оцените отдельно суммы расстояний до пар противоположных вершин.

Решение

Пусть данный четырехугольник - ABCD, а O - некоторая точка. Сумма OA+OC не меньше, чем AC, согласно неравенству треугольника, причем равенство достигается в том и только в том случае, когда точка O лежит на диагонали AC. Аналогичным образом, сумма OB+OD не меньше, чем BD, причем равенство достигается в том и только в том случае, когда точка O лежит на диагонали BD. Итак, сумма OA+OB+OC+OD не меньше, чем AC+BD, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда O лежит одновременно на диагоналях AC и BD, т.е. совпадает с точкой пересечения диагоналей четырехугольника ABCD.

Ответ

искомая точка - точка пересечения диагоналей.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .