Точка M лежит на описанной окружности треугольника ABC; R — произвольная точка. Прямые AR, BR и CR пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что точки пересечения прямых MA₁ и BC, MB₁ и CA, MC₁ и AB лежат на одной прямой, проходящей через точку R.

   Решение

Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать на остроугольные треугольники.

   Решение

Тема:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать на остроугольные треугольники.

Подсказка

Научитесь разрезать на остроугольные треугольники прямоугольный треугольник.

Решение

Любой выпуклый многоугольник можно разрезать диагоналями на треугольники. Каждый тупоугольный треугольник можно разрезать высотой, проведенной к наибольшей стороне, на два прямоугольных треугольника. Поэтому достаточно научиться разрезать на остроугольные треугольники любой прямоугольный треугольник. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($C$ – прямой угол) на медиане $CM$ достаточно близко к точке $M$ выберем точку $F$. Через $F$ проведем прямые, «почти параллельные» прямым $AC$ и $BC$ так, что они отрезают остроугольный треугольник $FDE$. Теперь осталось разрезать на остроугольные треугольники каждую из «почти трапеций» $ACFD$, $BCFE$ (см. картинку).

Источники и прецеденты использования