Задача 57106

Тема:    [ Теорема Паскаля ]

Сложность: 6+ Классы: 9

Условие

Точка M лежит на описанной окружности треугольника ABC; R — произвольная точка. Прямые AR, BR и CR пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что точки пересечения прямых MA₁ и BC, MB₁ и CA, MC₁ и AB лежат на одной прямой, проходящей через точку R.

Решение

Пусть A₂, B₂ и C₂ — указанные точки пересечения прямых. Применяя теорему Паскаля к точкам  M, A₁, A, C, B, B₁, получаем, что точки A₂, B₂ и R лежат на одной прямой. Аналогично точки A₂, C₂ и R лежат на одной прямой. Следовательно, точки  A₂, B₂, C₂ и R лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	9
Название	Теорема Паскаля
Тема	Теорема Паскаля
задача
Номер	06.093