ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35484
Тема:    [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На столе лежат монеты без наложений. Докажите, что одну из них можно выдвинуть, не задевая остальных.


Подсказка

Выдвигайте монету c наиболее удаленным относительно некоторого направления центром.


Решение

  Введём некоторую прямоугольную систему координат на плоскости. Рассмотрим монету, центр которой имеет наибольшую ординату. Обозначим через C и r её центр и радиус. Докажем, что эту монету можно выдвинуть вверх, не задевая оставшихся.
  Предположим противное – в полосе, которую заметает монета при движении вверх, нашлась точка А, принадлежащая другой монете с центром С' и радиусом r'. Проведём через С горизонтальную прямую m и обозначим через А' проекцию точки А на m. Согласно выбору точки С, точка С' находится не выше прямой m. Поэтому  С'A' < C'A < r'.  Отсюда следует, что точка A' принадлежит как первой монете, так и второй, а это противоречит условию.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .