Задача 35496

Темы:    [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Условие

Даны 100 палочек. Верно ли, что из них можно выбрать несколько палочек, из которых можно сложить многоугольник?

Подсказка

Если упорядочить палочки по возрастанию длин, то каждая палочка может быть длиннее суммы всех предыдущих.

Решение

Пусть даны палочки длины 1, 2, 4, 8, ... , 2⁹⁹. Пусть мы выбрали из них несколько палочек, длины которых равны 2^a, 2^b, ... , 2^y, 2^z, причем a<b<...<z. Так как 1+(1+2+4+...+2^z-1)=2^z, то 2^a+2^b+...+2^y<2^z. Таким образом, если бы из выбранных палочек можно было сложить многоугольник, то самая длинная сторона этого многоугольника была бы длиннее суммы остальных сторон, что неверно. Мы получили противоречие, показывающее, что указанный набор палочек таков, что из него нельзя выбрать несколько палочек и составить из них многоугольник.

Ответ

неверно.

Замечания

Ср. с задачей 98610.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача