Задача 98610

Темы:    [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Фольклор

Имеется 100 палочек, из которых можно сложить 100-угольник.
Может ли случиться, что ни из какого меньшего числа этих палочек нельзя сложить многоугольник?

Решение

Рассмотрим, например, палочки длины 1, 2, 2², 2³, ..., 2⁹⁸ и  2⁹⁹ – 2.  Длина наибольшей палочки меньше суммы длин остальных, поэтому 100-угольник составить можно. Но в любом поднаборе длина наибольшей палочки не меньше суммы длин остальных, поэтому многоугольник из них составить нельзя.

Ответ

Может.

Замечания

1. 3 балла.

2. Ср. с задачей 35496.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2002/2003
Номер	24
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	2