ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35562
Темы:    [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Разложение на множители ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что не существует многочлена P(x) с целыми коэффициентами, для которого  P(6) = 5  и  P(14) = 9.


Подсказка

Воспользуйтесь теоремой Безу для целочисленных многочленов.


Решение

  Теорема Безу для целочисленных многочленов. Для любого многочлена P(x) с целыми коэффициентами и любых различных целых чисел a и b число
P(a) – P(b)  делится на  a – b.
  Доказательство. Разность  P(a) – P(b)  представляет собой сумму выражений вида  ak – bk  с целыми коэффициентами. Как известно,  ak – bk  делится на
a – b.

  Если бы существовал многочлен P(x), о котором идет речь в условии задачи, то разность  P(14) – P(6) = 9 – 5 = 4  делилась бы на  14 – 6 = 8,  что неверно.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .