Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что с помощью поворота

в уравнении ax'² + 2bx'y' + cy'² = f' коэффициент при x'y' можно сделать равным нулю.

   Решение

---

Разложите на множители с действительными коэффициентами многочлены:

а) x4 + 4;	ж) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3;
б) 2x3 + x2 + x – 1;	з) (x – y)5 + (y - z)5 + (z – x)5;
в) x10 + x5 + 1;	и) a8 + a6b2 + a4b4 + a2b6 + b8;
г) a3 + b3 + c3 – 3abc;	к) (x2 + x + 1)2 + 3x(x2 + x + 1) + 2x2;
д) x3 + 3xy + y3 – 1;	л) a4 + b4 + c4 - 2a2b2 – 2a2c2 – 2b2c2;
е) x2y2 – x2 + 4xy – y2 + 1;	м) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15.

   Решение

Темы:    [ Гомотетия и поворотная гомотетия ] [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ] [ Наименьшая или наибольшая площадь (объем) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что внутри выпуклого многоугольника можно поместить его образ при гомотетии с коэффициентом – ½.

Подсказка

Этот образ можно поместить даже в треугольник наибольшей площади с вершинами в вершинах исходного многоугольника.

Решение

  Рассмотрим треугольник ABC наибольшей площади из всех треугольников с вершинами в вершинах исходного многоугольника. Проведя через вершины этого треугольника прямые, параллельные противоположным сторонам, получим «удвоенный» треугольник A'B'C'. Покажем, что весь данный многоугольник содержится целиком внутри треугольника A'B'C'. Действительно, предположим противное – некоторая вершина X многоугольника лежит вне треугольника A'B'C'. Тогда выполняется хотя бы одно из следующих трёх условий:
    1) точка X лежит по разные стороны с отрезком BC относительно прямой B'C',
    2) точка X лежит по разные стороны с отрезком CA относительно прямой C'A',
    3) точка X лежит по разные стороны с отрезком AB относительно прямой A'B'.
  Пусть имеет место первая возможность. Тогда  S_XBC > S_ABC  (основание BC общее, а высота, проведённая к BC, у треугольника XBC больше), что противоречит нашему предположению.
  Аналогично разбираются оставшиеся две возможности.
  Рассмотрим гомотетию с центром в центре тяжести треугольника ABC и коэффициентом – ½. При выполнении этой гомотетии треугольник A'B'C' перейдёт в треугольник ABC, а образ данного многоугольника окажется внутри треугольника ABС.

Источники и прецеденты использования