ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 61005
УсловиеРазложите на множители с действительными коэффициентами многочлены:
Подсказкаа) См. решение задачи 60472.
Решениеб) 2x3 + x2 + x – 1 = x3 – 1 + x(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x + 1 + x). в) x10 + x5 + 1 = x10 – x7 + x7 – x4 + x5 – x2 + x4 – x + x2 + x + 1 = (x7 + x4 + x4 + x)(x3 – 1) + x2 + x + 1 = г) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b) – 3abc = (a + b + с)((a + b)2 – (a + b)c + c2) – 3ab(a + b + с) = д) Положив в равенстве из г) a = x, b = y, c = –1, получим x3 + y3 – 1 + 3xy = (x + y – 1)(x2 + y2 + 1 – xy + x + y). е) x2y2 – x2 + 4xy – y2 + 1 = x2y2 + 2xy + 1 – (x2 – 2xy + y2) = (xy + 1)2 – (x – y)2 = (xy + 1 – x + y)(xy + 1 + x – y). ж) Первый способ. (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = (a + b + c)3 – a3 – (b3 + c3) = (b + c)((a + b + c)2 + a(a + b + c) + a2) – (b + c)(b2 – bc + c2) = = (b + c)(3a2 + 3ab + 3ac + 3bc) = 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b)) = 3(b + c)(a + b)(a + c).
Второй способ. При a = –b многочлен обращается в ноль, значит, по теореме Безу (см. задачу 60961) он делится на a + b. Аналогично он делится на a + c и b + c. Учитывая степень многочлена он равен k(b + c)(a + b)(a + c). Подставляя a = b = c = 1, находим коэффициент k.
з) Согласно задаче 61012 2((x – y)5 + (y – z)5 + (z – x)5) = 5(x – y)(y – z)(z – x)((x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2)
= 5(x – y)(y – z)(z – x)(2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2xy – 2xz). и) a8 + a6b2 + a4b4 + a2b6 + b8 (a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4)(a4 – a3b – a2b2 – ab3 – b4). к) a2 + 3ab + 2a2 = (a + b)(a + 2b), поэтому (x2 + x + 1)2 + 3x(x2 + x + 1) + 2x2 = (x2 + 2x + 1)(x2 + 3x + 1). л) a4 + b4 + c4 – 2a2b2 – 2a2c2 – 2b2c2 = (a2 + b2 – c2)2 – 4a2b2 = (a2 – 2ab + b2 – c2)(a2 + 2ab + b2 – c2) = м) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 =
(x2 + 8x + 11 – 4)(x2 + 8x + 11 + 4) + 15 = (x2 + 8x + 11)2 – 16 + 15 = Ответа) (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2);
б) (2x + 1)(x2 + x + 1); в) (x2 + x + 1)(x8 – x7 + x5 – x4 + x3 – x + 1); Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|