Задача 61005

Темы:    [ Разложение на множители ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Разложите на множители с действительными коэффициентами многочлены:

а) x4 + 4;	ж) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3;
б) 2x3 + x2 + x – 1;	з) (x – y)5 + (y - z)5 + (z – x)5;
в) x10 + x5 + 1;	и) a8 + a6b2 + a4b4 + a2b6 + b8;
г) a3 + b3 + c3 – 3abc;	к) (x2 + x + 1)2 + 3x(x2 + x + 1) + 2x2;
д) x3 + 3xy + y3 – 1;	л) a4 + b4 + c4 - 2a2b2 – 2a2c2 – 2b2c2;
е) x2y2 – x2 + 4xy – y2 + 1;	м) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15.

Подсказка

а) См. решение задачи 60472.
в)  x¹⁵ – 1 = (x⁵ – 1)(x¹⁰ + x⁵ + 1)  делится на  x³ – 1 = (x – 1)(x² + x + 1)  поэтому можно ожидать, что  x¹⁰ + x⁵ + 1  делится на x² + x + 1.
д) Это – частный случай п. г).
з) См. задачу 61012.

Решение

б)  2x³ + x² + x – 1 = x³ – 1 + x(x² + x + 1) = (x² + x + 1)(x + 1 + x).

в)  x¹⁰ + x⁵ + 1 = x¹⁰ – x⁷ + x⁷ – x⁴ + x⁵ – x² + x⁴ – x + x² + x + 1 = (x⁷ + x⁴ + x⁴ + x)(x³ – 1) + x² + x + 1 =
      = (x² + x + 1)((x⁷ + x⁴ + x² + x)(x – 1) + 1) = (x² + x + 1)(x⁸ – x⁷ + x⁵ – x⁴ + x³ – x + 1).

г)  a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b)³ + c³ – 3ab(a + b) – 3abc = (a + b + с)((a + b)² – (a + b)c + c²) – 3ab(a + b + с) =
      = (a + b + с)(a² + b² + c² – ab – aс – bс).

д) Положив в равенстве из г)   a = x,  b = y,  c = –1,  получим  x³ + y³ – 1 + 3xy = (x + y – 1)(x² + y² + 1 – xy + x + y).

е)  x²y² – x² + 4xy – y² + 1 = x²y² + 2xy + 1 – (x² – 2xy + y²) = (xy + 1)² – (x – y)² = (xy + 1 – x + y)(xy + 1 + x – y).

ж) Первый способ.  (a + b + c)³ – a³ – b³ – c³ = (a + b + c)³ – a³ – (b³ + c³) = (b + c)((a + b + c)² + a(a + b + c) + a²) – (b + c)(b² – bc + c²) =

= (b + c)(3a² + 3ab + 3ac + 3bc) = 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b)) = 3(b + c)(a + b)(a + c).

   Второй способ. При  a = –b  многочлен обращается в ноль, значит, по теореме Безу (см. задачу 60961) он делится на  a + b.  Аналогично он делится на  a + c  и  b + c.  Учитывая степень многочлена он равен  k(b + c)(a + b)(a + c).  Подставляя  a = b = c = 1,  находим коэффициент k.

з) Согласно задаче 61012

2((x – y)⁵ + (y – z)⁵ + (z – x)⁵) = 5(x – y)(y – z)(z – x)((x – y)² + (y – z)² + (z – x)²) = 5(x – y)(y – z)(z – x)(2x² + 2y² + 2z² – 2xy – 2xy – 2xz).

и) Первый способ. $$a^8 + a^6 b^2 + a^4 b^4 + a^2 b^6 + b^8 = \frac{a^{10} - b^{10}}{a^2-b^2} = \frac{a^5 - b^5}{a-b} \cdot \frac{a^5 + b^5}{a+b}=$$ $$=(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4) (a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4).$$ Второй способ (Яшнов М.А.). При замене $a^2 = x$, $b^2 = y$ получим симметрический многочлен четвёртой степени $x^4 + x^3 y + x^2 y^2 + x y^3 + y^4$. Будем искать разложение вида $(x^2+y^2+m x y) (x^2+y^2+n x y)$. Раскрыв скобки и приравняв коэффициенты при соответственных одночленах, получим условия $mn=-1$ и $m+n=1$, то есть $m$ и $n$ — корни квадратного уравнения $t^2-t-1=0$. Следовательно, исходный многочлен представим в виде произведения $$\bigg(x^2+y^2+\frac{1+\sqrt{5}}{2} x y \bigg) \cdot \bigg(x^2+y^2+\frac{1-\sqrt{5}}{2} x y \bigg) = $$ $$\bigg(a^4+b^4+\frac{1+\sqrt{5}}{2} a^2 b^2 \bigg) \cdot \bigg(a^4+b^4+\frac{1-\sqrt{5}}{2} a^2 b^2 \bigg).$$ к)  a² + 3ab + 2a² = (a + b)(a + 2b),  поэтому   (x² + x + 1)² + 3x(x² + x + 1) + 2x² = (x² + 2x + 1)(x² + 3x + 1).

л)  a⁴ + b⁴ + c⁴ – 2a²b² – 2a²c² – 2b²c² = (a² + b² – c²)² – 4a²b² = (a² – 2ab + b² – c²)(a² + 2ab + b² – c²) =
      = ((a – b)² – c²)((a + b)² – c²) = (a – b – c)(a – b + c)(a + b – c)(a + b + c).

м)  (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 = (x² + 8x + 11 – 4)(x² + 8x + 11 + 4) + 15 = (x² + 8x + 11)² – 16 + 15 =
       = (x² + 8x + 11)² – 1 = (x² + 8x + 10)(x² + 8x + 12) = (x² + 8x + 10)(x + 2)(x + 6).

Ответ

а)  (x² – 2x + 2)(x² + 2x + 2);    б)  (2x + 1)(x² + x + 1);    в)  (x² + x + 1)(x⁸ – x⁷ + x⁵ – x⁴ + x³ – x + 1);
г)  (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – ac – bc);    д)  (x + y – 1)(x² – xy + y² + x + y + 1);
е)  (xy – x + y + 1)(xy + x – y + 1);    ж)  3(a + b)(a + c)(b + c);
з)  5(x – y)(y – z)(z – x)(x² + y² + z² – xy – yz – xz);    и)  (a⁴ + a³b + a²b² + ab³ + b⁴)(a⁴ – a³b + a²b² – ab³ + b⁴);
к)  (x + 1)²(x² + 3x + 1);    л)  (a – b – c)(a – b + c)(a + b – c)(a + b + c);    м)  (x + 2)(x + 6)(x² + 8x + 10).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	3
Название	Разложение на множители
Тема	Формулы сокращенного умножения
задача
Номер	06.082