Задача 61012

Темы:    [ Тождественные преобразования ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что если  a + b + c = 0,  то   2(a⁵ + b⁵ + c⁵) = 5abc(a² + b² + c²).

Решение 1

После подстановки  c = – (a + b)  левая часть превращается в   2(a⁵ + b⁵ + c⁵) = 2(a⁵ + b⁵ – (a + b)⁵) = – 10(a⁴b + 2a³b² + 2a²b³ + ab⁴) =
= – 10ab((a³ + b³) + 2(a³b² + a²b³)) = – 10ab(a + b)((a² – ab + b²) + 2ab)) = – 10ab(a + b)(a² + ab + b²) = – 5a(a + b)(2a² + 2ab + 2b²) =
= 5ab(a + b)(a² + b² + (a + b)²) = 5abc(a² + b² + c²).

Решение 2

Пусть  p = ab + bc + ac,  q = abc.  Числа a, b, c являются корнями уравнения  x³ + px – q = 0.  Каждый корень этого уравнения удовлетворяет соотношению  x⁵ = x²(– px + q) = – px³ + qx² = qx² – p(– px + q) = qx² + p²x – pq.  Поэтому
2(a⁵ + b⁵ + c⁵) = 2q(a² + b² + c²) + 2p²(a + b + c) – 6pq = 5q(a² + b² + c²) – 3q((a + b + c)² – 2(ab + bc + ac)) – 6pq =
= 5q(a² + b² + c²) + 6pq – 6pq = 5q(a² + b² + c²) = 5abc(a² + b² + c²).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	3
Название	Разложение на множители
Тема	Формулы сокращенного умножения
задача
Номер	06.089