ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61012
Темы:    [ Тождественные преобразования ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Теорема Виета ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если  a + b + c = 0,  то   2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2).


Решение 1

После подстановки  c = – (a + b)  левая часть превращается в   2(a5 + b5 + c5) = 2(a5 + b5 – (a + b)5) = – 10(a4b + 2a3b2 + 2a2b3 + ab4) =
= – 10ab((a3 + b3) + 2(a3b2 + a2b3)) = – 10ab(a + b)((a2ab + b2) + 2ab)) = – 10ab(a + b)(a2 + ab + b2) = – 5a(a + b)(2a2 + 2ab + 2b2) =
= 5ab(a + b)(a2 + b2 + (a + b)2) = 5abc(a2 + b2 + c2).


Решение 2

Пусть  p = ab + bc + ac,  q = abc.  Числа a, b, c являются корнями уравнения  x3 + px – q = 0.  Каждый корень этого уравнения удовлетворяет соотношению  x5 = x2(– px + q) = – px3 + qx2 = qx2p(– px + q) = qx2 + p2x – pq.  Поэтому
2(a5 + b5 + c5) = 2q(a2 + b2 + c2) + 2p2(a + b + c) – 6pq = 5q(a2 + b2 + c2) – 3q((a + b + c)2 – 2(ab + bc + ac)) – 6pq =
= 5q(a2 + b2 + c2) + 6pq – 6pq = 5q(a2 + b2 + c2) = 5abc(a2 + b2 + c2).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 6
Название Многочлены
Тема Многочлены
параграф
Номер 3
Название Разложение на множители
Тема Формулы сокращенного умножения
задача
Номер 06.089

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .