Задача 60472

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

При каких целых n число  n⁴ + 4  – составное?

Подсказка

n⁴ + 4 = n⁴ + 4n² + 4 – 4n².

Решение

  n⁴ + 4 = n⁴ + 4n² + 4 – 4n² = (n² + 2)² – (2n)² = (n² – 2n + 2)(n² + 2n + 2).
  Числа  n² + 2n + 2 = (n + 1)² + 1  и  n² – 2n + 2 = (n – 1)² + 1  больше 1 при  n ≠ ±1.  А при  n = ±1   n⁴ + 4 = 5.

Ответ

При  n ≠ ±1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	1
Название	Простые числа
Тема	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители
задача
Номер	03.020