Задача 35640

Темы:    [ Перегруппировка площадей ] [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 3- Классы: 9,10

Условие

В правильном шестиугольнике ABCDEF точки K и L - середины сторон AB и BC соответственно. Отрезки DK и EL пересекаются в точке N. Докажите, что площадь четырехугольника KBLN равна площади треугольника DEN.

Подсказка

Четырехугольники KBCD и LCDE совмещаются поворотом.

Решение

Совершим поворот на 60⁰ вокруг центра шестиугольника. При этом точки K, B, C, D переходят соответственно в точки L, C, D, E. Таким образом, после выполнения такого поворота четырехугольники KBCD и LCDE совместятся. Это означает, в частности, что площади четырехугольников KBCD и LCDE равны. Но площадь четырехугольника KBCD равна сумме площадей четырехугольника KBLN и четырехугольника CDNL, а площадь четырехугольника LCDE равна сумме площадей треугольника DEN и четырехугольника CDNL. Отсюда следует, что площадь четырехугольника KBLN равна площади треугольника DEN, что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача