ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 35711
УсловиеВ окружность вписан треугольник ABC. Точка P пробегает дугу ACB.
Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей
всевозможных треугольников ABP.
ПодсказкаРассмотрите точку пересечения биссектрисы угла P с описанной окружностью
треугольника ABP. Эта точка равноудалена от центра вписанной окружности
треугольника
ABP и точек A, B.
РешениеПусть I - центр вписанной окружности треугольника ABP. Тогда PI - биссектриса угла APB. Продолжим биссектрису до пересечения с описанной окружностью треугольника ABP в точке M. Точка M является серединой дуги AB, так как вписанные углы APM и BPM равны. В частности, M не зависит от положения точки P. Заметим, что AI и BI - биссектрисы соответственно углов PAB и PBA. Поэтому можно обозначить углы API и BPI за p, углы PAI и BAI за a, углы PBI и ABI за b. Угол AIM - внешний для треугольника AIP, отсюда угол AIM равен a+p. Далее, углы BAM и BPM вписанные и опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны, т.е. угол BAM равен p. Угол IAM равен сумме углов BAI и BAM, т.е. равен a+p. Таким образом, углы AIM и IAM равны a+p. Следовательно, треугольник AIM равнобедренный (MI=MA), значит точка I лежит на дуге окружности с центром в точке M и радиусом MA. Наоборот, если I - любая точка дуги окружности с центром в точке M и радиусом MA, лежащей внутри данной окружности, то строим точку P на пересечении MI с окружностью и рассуждениями, обратными к приведенным, убеждаемся, что I - центр вписанной окружности треугольника ABP. Итак, искомое геометрическое место - указанная дуга окружности. Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке