Условие
В окружность вписан треугольник ABC. Точка P пробегает дугу ACB.
Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей
всевозможных треугольников ABP.
Подсказка
Рассмотрите точку пересечения биссектрисы угла P с описанной окружностью
треугольника ABP. Эта точка равноудалена от центра вписанной окружности
треугольника
ABP и точек A, B.
Решение
Пусть I - центр вписанной окружности треугольника ABP.
Тогда PI - биссектриса угла APB.
Продолжим биссектрису до пересечения с описанной окружностью
треугольника ABP в точке M. Точка M является серединой дуги AB,
так как вписанные углы APM и BPM равны. В частности, M не зависит
от положения точки P.
Заметим, что AI и BI - биссектрисы соответственно углов PAB и PBA.
Поэтому можно обозначить углы API и BPI за p,
углы PAI и BAI за a, углы PBI и ABI за b.
Угол AIM - внешний для треугольника AIP, отсюда угол AIM равен
a+p.
Далее, углы BAM и BPM вписанные и опираются на одну и ту же дугу,
следовательно, они равны, т.е. угол BAM равен p.
Угол IAM равен сумме углов BAI и BAM, т.е. равен a+p.
Таким образом, углы AIM и IAM равны a+p. Следовательно,
треугольник AIM равнобедренный (MI=MA), значит точка I лежит на
дуге окружности с центром в точке M и радиусом MA.
Наоборот, если I - любая точка дуги
окружности с центром в точке M и радиусом MA, лежащей внутри
данной окружности, то строим точку P на пересечении MI с
окружностью и рассуждениями, обратными к приведенным, убеждаемся,
что
I - центр вписанной окружности треугольника ABP.
Итак, искомое геометрическое место - указанная дуга окружности.
Источники и прецеденты использования
