Задача 35721

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Неравенства с углами ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Четырехугольник (неравенства) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что если в четырехугольнике два противоположные угла тупые, то диагональ, соединяющая вершины этих углов, меньше другой диагонали.

Подсказка

Пусть B и D - вершины тупых углов четырехугольника ABCD. Постройте на диагонали AC как на диаметре окружность.

Решение

Пусть B и D - вершины тупых углов четырехугольника ABCD. Построим на диагонали AC как на диаметре окружность. Тогда точки B и D лежат внутри этой окружности. Пусть прямая BD пересекает окружность в точках M и N. Тогда BD<MN, но MN не меньше AC, так как длина хорды окружности не превосходит диаметра этой окружности.

Замечания

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача