|
|
 |
Условие
Найдите все конечные множества точек на плоскости, обладающие таким свойством: никакие три точки множества не лежат на одной прямой и вместе с каждыми тремя точками данного множества ортоцентр треугольника, образованного этими точками, также принадлежит данному множеству.
Подсказка
У выпуклой оболочки этого множества не может быть тупого угла.
Решение
Пусть M – некоторое такое множество точек. Рассмотрим выпуклую оболочку V этого множества. У многоугольника V не может быть тупого угла. В самом деле, если A, B, C – три последовательные вершины многоугольника V, и угол ABC тупой, то ортоцентр треугольника ABC лежит вне угла ABC, и следовательно, вне V. Итак, отсюда следует, что V – это прямоугольный или остроугольный треугольник или квадрат.
1) Пусть это остроугольный треугольник ABC. Обозначим через H его ортоцентр, принадлежащий M. Пусть кроме точек A, B, C, H есть еще одна точка K из множества M. K лежит в одном из треугольников ABH, BCH, CAH (поскольку лежит внутри V), для определенности, пусть в треугольнике BCH. При этом ∠BAC + ∠BHC = 180°. Поскольку K лежит в треугольнике BCH, то ∠BHC < ∠BKC (докажите!). Ортоцентр L треугольника BCK лежит внутри V, поэтому
∠BLC ≥ ∠A, а ∠BKC + ∠BLC > 180° вопреки свойству ортоцентра. Противоречие.
2) Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла. Аналогично 1) можно показать, что кроме вершин V ни одной точки не может принадлежать множеству M.
3) Пусть V – квадрат, то ортоцентр любого треугольника, образованного его тремя вершинами, совпадает с одной из этих вершин. Деля квадрат диагональю на две части и рассуждая аналогично 2), получаем, что множество M не содержит других точек, кроме вершин квадрата.
Ответ
Три вершины и ортоцентр остроугольного треугольника, три вершины прямоугольного треугольника или четыре вершины квадрата.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
